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lunedì, 26 ottobre 2020

Soluzione del secondo enigma della bilancia

di Marco Pavone
pubblicato il 8 dicembre 2011

Qui di seguito è pubblicata la soluzione al secondo enigma della bilancia proposto qui.

Il numero minimo di pesate è 2. Tuttavia, a differenza che nel primo enigma, il procedimento in 2 pesate non è unico. I procedimenti possibili, infatti, sono i seguenti.

I) Nella prima pesata si pongano 6 monete su ciascuno dei due piatti.
Se i due piatti rimangono in equilibrio, allora le 12 monete hanno tutte lo stesso peso. Altrimenti si effettui una seconda pesata, distribuendo sui due piatti le 6 monete del gruppo più pesante, tre per parte. Se i due piatti rimangono nuovamente in equilibrio, allora esiste una moneta più leggera delle altre, altrimenti esiste una moneta più pesante. In alternativa, nella seconda pesata, si distribuiscano sui due piatti le 6 monete del gruppo più leggero.

II) Nella prima pesata si pongano 3 monete su un piatto e 3 sull'altro, oppure 4 e 4, oppure 5 e 5.
Se i due piatti rimangono in equilibrio, allora, nella seconda pesata, si pongano sul primo piatto tutte le monete escluse dalla prima pesata e si ponga un ugual numero di monete sul secondo piatto. Se i due piatti rimangono nuovamente in equilibrio, allora le 12 monete hanno tutte lo stesso peso, altrimenti esiste una moneta più pesante o più leggera delle altre a seconda che il primo piatto si abbassi o si sollevi, rispettivamente.
Se invece, nella prima pesata, uno dei due gruppi di monete risulta più pesante, allora, nella seconda pesata, si escludano tutte le monete del gruppo più leggero e si distribuiscano sui due piatti, in qualsiasi modo possibile, tutte le monete del gruppo più pesante e una eventuale selezione delle monete escluse dalla prima pesata, con la sola condizione che, sui due piatti, venga posto un ugual numero di monete. Se i due piatti rimangono in equilibrio, allora esiste una moneta più leggera delle altre, altrimenti esiste una moneta più pesante. In alternativa, nella seconda pesata, si escludano tutte le monete del gruppo più pesante.
Infine, nel solo caso in cui, nella prima pesata, si pongono 3 monete su ogni piatto e uno dei due gruppi di monete risulta più pesante, è possibile predisporre una seconda pesata in modo diverso da quanto appena descritto. Sul primo piatto si pongano le 3 monete del gruppo più pesante e un qualsiasi numero (da 1 a 3) di monete del gruppo più leggero (o viceversa); sul secondo piatto si pongano unicamente monete escluse dalla prima pesata e in quantità sufficiente a pareggiare il numero di monete poste sul primo piatto. Se i due piatti rimangono in equilibrio, oppure il secondo piatto si abbassa, allora esiste una moneta più leggera delle altre, altrimenti esiste una moneta più pesante.

Esponiamo ora il ragionamento con cui si arriva alle conclusioni precedenti. La prima pesata va predisposta ponendo necessariamente un ugual numero di monete sui due piatti della bilancia. Se infatti venisse effettuata una pesata con una quantità di monete più numerosa su uno dei due piatti, e se l'esito della pesata fosse l'abbassamento di tale piatto, allora la pesata non fornirebbe alcuna nuova informazione e risulterebbe quindi inutile. Infatti, a seguito di tale esito, ciascuna delle 12 monete, qualunque fosse la sua posizione sulla bilancia (sul primo piatto, sul secondo piatto o fuori dai piatti), conserverebbe lo status di moneta allo stesso tempo "forse pesante" e "forse leggera" che aveva all'inizio, prima che venisse effettuata la pesata. Si tratterebbe di una pesata inutilmente "bruciata", che impedirebbe quindi il raggiungimento del numero minimo di pesate, che, come è utile ricordare, va raggiunto indipendentemente dall'esito delle pesate effettuate.

Fatta questa premessa, esaminiamo i due seguenti casi:

I) La prima pesata viene effettuata collocando 6 monete su ciascuno dei due piatti;

II) La prima pesata viene effettuata collocando lo stesso numero di monete, ma in quantità inferiore a 6, su ciascuno dei due piatti, e lasciando fuori dai piatti le rimanenti monete.

In entrambi i casi, se uno dei due piatti si abbassa rispetto all'altro (il che rivela la presenza di una moneta dal peso diverso dalle altre), allora le monete su tale piatto perdono lo status di monete "forse leggere", conservando solo lo status di monete "forse pesanti"; le monete sull'altro piatto perdono lo status di monete "forse pesanti", conservando solo lo status di monete "forse leggere"; infine le eventuali monete lasciate fuori dai piatti acquistano lo status di monete "neutre", per le quali, cioè, si può ormai escludere con certezza che siano la moneta dal peso diverso. Se invece i due piatti rimangono in equilibrio, allora le monete su di essi acquistano lo status di monete "neutre", mentre ciascuna delle eventuali monete fuori dai piatti mantiene lo status di moneta "forse pesante" e "forse leggera" allo stesso tempo. Se ciò accade nella pesata di tipo I), allora si può già concludere, senza ricorrere ad ulteriori pesate, che le 12 monete hanno tutte lo stesso peso.

Dall'esame di questi casi si conclude, innanzi tutto, che una sola pesata non basta per dare una risposta certa e che quindi occorrono almeno due pesate in tutto. Escludendo il caso in cui i due piatti rimangono in equilibrio nella pesata di tipo I), si può facilmente concludere, ragionando come in precedenza, che anche la seconda pesata va predisposta ponendo un ugual numero di monete sui due piatti della bilancia. Questa è la prima restrizione che va posta sulla seconda pesata. Le altre restrizioni le troveremo imponendo la condizione che la seconda pesata sia quella decisiva.

Se nella prima pesata, di qualunque tipo essa sia, uno dei due piatti si abbassa rispetto all'altro, allora nella seconda pesata va evitato, pena il dovere ricorrere ad una terza pesata, che una moneta "forse pesante" e una moneta "forse leggera" si ritrovino su due piatti diversi della bilancia oppure entrambe fuori dai piatti. Se infatti, nel primo caso, il piatto contenente la moneta "forse pesante" si abbassasse rispetto all'altro piatto, oppure se, nel secondo caso, i due piatti restassero in equilibrio, allora non sarebbe possibile stabilire se la moneta di tipo diverso sia pesante o leggera.

Se invece, nella pesata di tipo II), i due piatti rimangono in equilibrio, allora ciascuna delle monete escluse dalla prima pesata va utilizzata nella seconda pesata, evitando inoltre, come in precedenza, che due di tali monete si ritrovino su due piatti diversi della bilancia. Se, infatti, una moneta fosse posta fuori dai piatti per due pesate consecutive, allora, nel caso in cui entrambe le pesate risultassero in equilibrio, tale moneta rimarrebbe nello status di moneta allo stesso tempo "forse pesante" e "forse leggera", il che renderebbe inevitabile il ricorso ad una terza pesata.

Da questa analisi si evince, in definitiva, che il numero minimo di pesate è 2 e che gli unici procedimenti possibili in 2 pesate sono quelli esposti all'inizio della soluzione.

Osservazioni finali

1) Dall'analisi di tutti i procedimenti in 2 pesate si può notare che, tra di essi, ne esistono tre particolarmente semplici ed "eleganti". Per ognuno di essi, inoltre, è possibile descrivere a priori la configurazione di entrambe le pesate, indipendentemente dall'esito della prima. Descriviamo i tre procedimenti adottando la seguente notazione: nella prima pesata rappresentiamo con le iniziali S e D le monete poste sul piatto sinistro e sul piatto destro della bilancia, rispettivamente, e con la lettera E le monete escluse dalla pesata. Poi, nella seconda pesata, rappresentiamo ogni moneta con lo stesso nome che aveva nella prima pesata.

I Prima pesata: S1 S2 S3 S4 S5 S6 vs D1 D2 D3 D4 D5 D6
I Seconda pesata: S1 S2 S3 vs S4 S5 S6

II Prima pesata: S1 S2 S3 S4 vs D1 D2 D3 D4
II Seconda pesata: S1 S2 S3 S4 vs E1 E2 E3 E4

III Prima pesata: S1 S2 S3 vs D1 D2 D3
III Seconda pesata: S1 S2 S3 D1 D2 D3 vs E1 E2 E3 E4 E5 E6

Il terzo procedimento è quello più "economico", cioè ottenuto tramite lo spostamento del numero minimo di monete.

2) Il fatto che il numero minimo di pesate sia maggiore di 1 non è affatto ovvio, in quanto non esiste alcun motivo concettuale in base al quale si possa stabilire a priori che una sola pesata non è sufficiente. I casi possibili, infatti, sono tre: a) tutte le monete hanno lo stesso peso; b) esiste una moneta più pesante delle altre; c) esiste una moneta più leggera delle altre. D'altra parte una pesata ha tre esiti possibili: i due piatti rimangono in equilibrio; si abbassa il piatto a sinistra; si abbassa il piatto a destra. Non si poteva quindi escludere a priori che esistesse una pesata i cui tre esiti corrispondessero ai tre casi a), b) e c) che si possono presentare. La dimostrazione precedente mostra, in realtà, che ciò non si può verificare.

3) I casi I) e II) esposti all'inizio della soluzione non includono alcuni procedimenti in 2 pesate che, nella sostanza, sono equivalenti a qualcuno dei procedimenti già descritti. Si tratta in tutti i casi di procedimenti in cui, nella seconda pesata, vengono utilizzate monete che potrebbero essere escluse dalla pesata poiché non forniscono alcun contributo utile. Si consideri, ad esempio, il caso in cui si effettua la prima pesata collocando 4 monete su ognuno dei due piatti e successivamente, in caso di equilibrio, si effettua una seconda pesata distribuendo sui due piatti tutte e 12 le monete, 6 per parte, e ponendo sullo stesso piatto le 4 monete escluse dalla prima pesata. Si tratta di un procedimento che, di fatto, è equivalente al procedimento II) descritto nell'osservazione 1) precedente, ma che utilizza, nella seconda pesata, un numero ridondante di monete.

Nota

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