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mercoledì, 19 dicembre 2018

Numeri autoreferenziali

di mariano tomatis
pubblicato il 19 ottobre 2005

Un noto problema di matematica ricreativa chiede quale sia il termine successivo nella successione S' = 1 - 11 - 21 - 1211 - 111221...

Il termine successivo è 312211. Ogni termine si ricava dal precedente spiegando com'è scritto da sinistra a destra: poiché in 1112211 ci sono tre 1, due 2 e ancora due 1, si può scrivere in numeri che ci sono 3 1, 2 2, 2 1. Accostando i numeri nell'ordine si ottiene 312221.

Ai fini ricreativi, è più interessante la serie S'' = 1 - 11 - 21 - 1112 - 3112 - 211213...

Ogni termine descrive ancora il precedente, ma non considerandolo da sinistra a destra, bensì considerandolo nella sua totalità e contando le cifre prese in ordine crescente: prima quanti 1 contiene, poi quanti 2 e così via. Così successivo di 21 è 1112 (un "uno" e un "due").

Nota: Mentre nella serie S' è possibile da ogni elemento S'N calcolare sia S'N+1 sia S'N-1, nella serie S'' da ogni elemento S''N si può calcolare soltanto S''N+1 e non S''N-1. Dato il numero 3112, infatti, se appartiene alla serie S' si può calcolare (semplicemente descrivendolo) che il successivo è 211213, mentre leggendolo come la descrizione di un numero si ottiene il precedente: tre 1 e un 2, dunque 1112. Dato, invece, il numero 3112, se appartiene alla serie S'' può provenire sia da 1112, sia da 1121, sia da una qualunque permutazione delle sue quattro cifre.

La serie S'' al dodicesimo passo diventa ciclica, producendo un numero che autodescrive le sue caratteristiche: 1 - 11 - 21 - 1112 - 3112 - 211213 - 312213 - 212223 - 114213 - 31121314 - 41122314 - 31221324 - 21322314. Con l'ultimo numero, 21322314, la serie si assesta su quel valore. Partendo da 2, la serie è di nuovo ciclica, e arriva al numero 21322314 in soli 11 passi.

Quesiti:

1. Qual è il primo valore partendo dal quale la serie non si stabilizza ciclicamente a 21322314?

2. Quanti sono i valori che portano all'invariante 21322314?

3. Qual è il valore che produce un ciclo nel più piccolo numero di passi?

4. Esistono cicli raggiunti in un passo?

5. Esistono cicli raggiunti in due passi?

6. Esistono cicli raggiunti in N passi, con N positivo o nullo?

7. Esistono serie che non convergono mai ad un valore univoco x?

Soluzioni:

1. Partendo dal numero 5, si produce un ciclo in 10 passi, convergendo al numero 3122331415. Per tutti i valori N successivi, fino al 9, le serie convergono in 10 passi al numero 312233141N.

2. I numeri che conducono a 21322314 sono infiniti. Ad esempio, tutti i numeri della forma 10N per qualunque N intero positivo o nullo conducono a 21322314 in 12 passi.

3. Il numero 22: si tratta dell'unico numero invariante.

4. Sì: i numeri 202 e 220 e, più in generale, tutti i numeri composti da due cifre 2 e un numero qualsiasi di zeri (2200, 20002, ecc.) raggiungono in un passo il numero 22, e qui ciclano.

5. Sì: avendo identificato un numero (202) che entra nel ciclo in un passo, è sufficiente trovare un numero che lo preceda. Il numero composto da venti 2 consecutivi è il più piccolo.

6. Sì, e lo si può dimostrare per induzione. 202 produce un ciclo di lunghezza 1. Se il numero 10M+2 produce un ciclo di lunghezza N, il numero composto da M cifre "2" produce un ciclo di lunghezza N+1.

Infatti 202 produce un ciclo di lunghezza 1. Poiché 202 = 10x20+2, il numero composto da 20 cifre "2" (ovvero 22222222222222222222) produce un ciclo di lunghezza 2. Il numero successivo è mostruosamente grande, essendo costituito da un numero di cifre "2" pari a 2222222222222222222, e produce un ciclo di lunghezza 3. Iterando, si possono produrre cicli di qualsiasi numero N di passi.

7. Sì, la serie che parte da 46 è la prima a non convergere ad un valore fisso ma ad una coppia di valori che si descrivono vicendevolmente: 314213241516 e 412223241516. Questo capita anche con i successivi numeri 47, 48 e 49; a variare sono le coppie finali. I due valori prodotti da 46 finiscono con la cifra 6. I valori prodotti da 47, 48 e 49 finiscono con le cifre 7, 8 e 9. Ad esempio, la coppia prodotta dal 49 è costituita da 314213241519 e 412223241519.

I numeri 64 e 65 sono la prima coppia di numeri consecutivi a convergere ad un'identica coppia di valori, che sono di nuovo 314213241516 e 412223241516.

I due numeri ricordano il sistema di due frasi non autoreferenziali che si descrivono vicendevolmente:

La frase successiva è costituita da quarantotto lettere.
La frase precedente è costituita da quarantotto lettere.

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