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venerdì, 22 settembre 2017

Buchi neri matematici

di mariano tomatis
pubblicato il 14 ottobre 2005

Definiamo "buco nero" una tripla (b, U, f) in cui b è un elemento di un insieme U ed f: U → U è una funzione tale per cui:

1. f(b)=b

2. Per ogni x in U, esiste un numero naturale k per cui fk(x)=b.

Ecco un semplice esempio. Consideriamo tutti i numeri naturali. Per ogni numero, contiamo il numero delle cifre pari che contiene, il numero di cifre dispari e il numero di cifre totali, e creiamo un altro numero costituito dall'accostamento dei tre risultati ottenuti.

Partendo da 123456789, ad esempio, contiamo 4 cifre pari, 5 cifre dispari e 9 cifre in totale; utilizziamo i tre risultati per formare un nuovo numero, 459, e ripetiamo l'operazione con il numero ottenuto. Nel numero 459 ci sono 1 cifra pari, 2 cifre dispari e 3 cifre totali, a formare il numero 123. Ripetendo l'operazione sul numero 123, il risultato non cambia.

Abbiamo così trovato un numero b per cui l'applicazione della regola produce il numero stesso.

In termini formali, abbiamo definito la funzione f(x) sull'insieme dei numeri naturali come f(x)=[apadat] dove ap è il numero di cifre pari di x, ad è il numero di cifre dispari di x e at è il numero di cifre totali di x.

Per il numero scelto 123456789 abbiamo trovato un numero k di iterazioni pari a 2 tali per cui f2(123456789) = f(f(123456789))=f(459)=123

Per dimostrare che (123,N,f) è un buco nero è necessario dimostrare che per qualunque numero x la ripetuta applicazione di f conduce al valore 123. Ciò si può fare seguendo questo ragionamento: innanzitutto si nota che se x > 999, f(x) < x. Anche per numeri enormi, ad esempio una sequenza di cento 1 consecutivi, il risultato che si ottiene è certamente inferiore: nell'esempio, 100100 (nessuna cifra pari, 100 cifre dispari e 100 cifre complessive). Dunque, poiché f(x) è sempre strettamente minore di x, con una serie di iterazioni si giunge ad un x < 1000. A questo punto, la successiva iterazione porterà ad un numero che termina sicuramente con il 3 (ci sono infatti 3 cifre complessive), mentre le prime due saranno tutte le possibili coppie per cui ap + ad = 3:

(0,3,3)
(1,2,3)
(2,1,3)
(3,0,3)

Applicando f ai numeri prodotti da queste triple si ottiene sempre 123. Dunque 123 nell'universo N e con la funzione f è un "buco nero" matematico.

Si può dimostrare un interessante Corollario: Se esiste, all'interno di un universo U il buco nero di una funzione f è unico.

Dimostrazione. Supponiamo che, per assurdo, esistano due buchi neri distinti b1 e b2. Chiamiamo k1 il numero di iterazioni che bisogna applicare alla funzione f per ottenere il buco nero b1 partendo da x, e k2 il numero di iterazioni da applicare alla funzione f per ottenere il buco nero b2 partendo da x.

k1 e k2 devono essere diversi, perché se fossero uguali b1 = fk1(x) = fk2(x) = b2 ovvero b1 = b2 che contraddice l'ipotesi iniziale.

Supponiamo k1 < k2. Poiché fk2(x) = fk1(fk2-k1(x)) e, per la definizione che abbiamo dato di k1, fk1(x)=b1 per ogni x, allora in particolare varrà anche per x= fk2-k1(x). Dunque fk2(x) = fk1(fk2-k1(x)) = b1.

Ma per la definizione di k2 sappiamo anche che fk2(x) = b2. Il che è assurdo, perché avevamo posto per ipotesi b1 diverso da b2.

Supponendo k1 > k2 il ragionamento è simile, e conduce di nuovo ad una contraddizione.

Dunque l'ipotesi iniziale era scorretta e in un universo U il buco nero di una funzione f è unico.

Michael W. Ecker cita vari esempi di buchi neri, tra cui uno che gli avrebbe comunicato personalmente Martin Gardner: riguarda i numeri naturali e la funzione f che determina il risultato contando il numero di lettere che compongono il numero stesso. Gli esempi da lui forniti sono in inglese: partendo da x = 5 si ha f(5) = numero di lettere della parola "five" = 4. Applicando la funzione a 4 (four) si ottiene ancora 4: Ecker ha mostrato che 4 è il buco nero della funzione f così definita. Martin Gardner chiama i numeri che si autodescrivono "numeri onesti". Ampliando la nomenclatura, definiamo "espressione onesta" ogni espressione che definisce il numero N utilizzando esattamente N lettere. "Uno più dieci" è un'espressione onesta perché definisce il numero 11 ed è costituita da undici lettere.

Quesiti:

1 Qual è il buco nero di f in lingua italiana?

2 In giapponese, 2 si scrive "Ni" e 3 si scrive "San". Dimostrare che, in questa lingua, la funzione f non ha buchi neri.

3 Esistono infinite "espressioni oneste"?

Fonti: Michael W. Ecker, "Number Play, Calculators, and Card Tricks: Mathemagical Black Holes" in Elwyn Berlekamp e Tom Rodgers (ed.), The Mathmagician and the Pied Puzzler, AK Peters, 1999, pp.41-51.

Mariano Tomatis, Introduzione all'autoreferenzialità

Martin Gardner, The Magic Numbers of Dr.Matrix, Prometheus Books, 1985, pp.71-72 e pp.265-267.

Soluzioni:

1. In italiano il gioco ha un buco nero diverso, ovvero il 3 ("tre", costituito in effetti da 3 lettere). Anche partendo da "un milione", il buco nero si raggiunge alla sesta iterazione: f(1000000)=9, f(9)=4, f(4)=7, f(7)=5, f(5)=6, f(6)=3.

La presenza di due buchi neri distinti in due lingue diverse non è un paradosso: Ecker parla di "funzione dipendente dal linguaggio", e in effetti la funzione f può essere più correttamente formalizzata in questo modo:

fL(x) = {numero di lettere nella parola x espressa in lingua L}

Con questa nuova definizione è più evidente che i due buchi neri 4 e 3 sono distinti soltanto perché le due funzioni finglese ed fitaliano sono distinte.

2. In giapponese, 2 si scrive "Ni" e 3 si scrive "San", dunque f(2)=2 e f(3)=3.

Se 2 fosse un buco nero, dovrebbe esistere per ogni numero naturale x un numero k per cui fk(x)=2. Ma se poniamo x=3, per qualsiasi valore di k si ha fk(3)=3. Simmetricamente, se 3 fosse un buco nero, dovrebbe esistere per ogni numero naturale x un numero k per cui fk(x)=3. Ma se poniamo x=2, per qualsiasi valore di k si ha fk(2)=2.

Lo stesso ragionamento potrebbe applicarsi all'esperanto, dove "du" indica il 2, "tri" il 3 e "kvar" il 4.

3 Sì. Utilizzando come base l'espressione onesta "tre", possiamo aggiungerle a piacere le parole "più sei", che essendo costituite da 6 lettere producono sempre nuove "espressioni oneste": "tre più sei" (9), "tre più sei più sei" (12), ecc.

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