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domenica, 25 giugno 2017

Fibonacci Magic

di mariano tomatis
pubblicato il 22 luglio 2008

I numeri di Fibonacci consentono di presentare un sorprendente effetto di magia matematica1.

Chiedi a qualcuno di scrivere su un foglietto - uno sotto l'altro - due numeri. Può scegliere due numeri qualsiasi, ma per semplificare i calcoli che dovrà fare, è consigliabile la scelta di due numeri compresi tra 1 e 10.

Sotto i due numeri dovrà scrivere la somma dei due. Sotto l'ultimo numero appena scritto dovrà scrivere il risultato della somma del secondo e del terzo numero. L'operazione dovrà ripetersi più volte: ogni volta, sotto la lista dovrà scrivere la somma degli ultimi due numeri scritti.

Se ad esempio i primi due numeri scritti saranno 1 e 3, effettuerà la somma e scriverà 4. Poi sommerà 3 e 4 ottenendo 7. Poi sommerà 4 e 7 ottenendo 11, e così via, fino ad ottenere una lista di 10 numeri in tutto (compresi i primi due) - come nell'esempio qui sotto:

1
3
4
7
11
18
29
47
76
123

Fatti consegnare la lista dei dieci numeri (che tu vedi per la prima volta, essendoti allontanato durante i calcoli), e immediatamente potrai annunciare che la somma dei dieci numeri fa 319. Il calcolo si rivelerà corretto.

Il segreto "operativo" di questa performance è questo: per ottenere al volo la somma, ignora i numeri scritti sul foglietto e concentrati solo sul settimo della lista. Moltiplicalo mentalmente per 11 (il che è particolarmente facile: ti sarà sufficiente aggiungergli uno zero a destra e sommargli sé stesso), e otterrai subito la somma dei 10 numeri. Nel caso in questione, il settimo numero è il 29, dunque mentalmente tu eseguirai la somma 290 + 29 che fa 319.

Il segreto "matematico" è ingegnoso: la lista che si produce non è che una sequenza di Fibonacci facile da analizzare.

Se i numeri pensati sono a e b, la lista completa dei dieci numeri - espressa con variabili - è la seguente:

a
b
a+b
a+2b
2a+3b
3a+5b
5a+8b
8a+13b
13a+21b
21a+34b

L'espressione che rappresenta la somma di questi 10 numeri è

55a+88b

che è facile vedere essere il prodotto del settimo termine (5a+8b) per 11.

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1 http://people.bath.ac.uk/jrg22/FibonacciNumbers.html

 

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