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lunedì, 29 maggio 2017

Coincidenza? Speriamo di sì...

di mariano tomatis
pubblicato il 17 giugno 2008

Mescola due mazzi di carte e mettili l'uno di fianco all'altro. Capovolgi contemporaneamente la carta in testa ad ognuno dei due mazzetti e confrontale. Ripeti la stessa procedura per tutte e 52 le carte del mazzo. Ad un certo punto potrebbe accadere che le due carte capovolte siano la stessa.

Quanto è probabile questa coincidenza? Il valore di tale probabilità è facilmente determinabile dal punto di vista matematico, e fornisce anche il livello di rischio cui si espone il prestigiatore che presenta l'effetto annunciando sin dal principio che ci si imbatterà in una coincidenza durante il capovolgimento delle 52 carte. Si vedrà che la probabilità cambia in modo impercettibile se le carte utilizzate sono 40, 52 o 10000.

Se si utilizza un mazzo con N carte, il numero complessivo di coincidenze (NCC) durante un confronto completo dei due mazzi è una variabile aleatoria che può assumere un valore compreso tra 0 ed N. Tale variabile è la sommatoria da 1 a N di una variabile casuale binomiale, che può assumere - per ognuno degli N confronti - il valore 0 (se le carte sono diverse) o 1 (se le carte sono uguali).

Il prestigiatore è interessato a studiare proprio il NCC, e in particolare a conoscere la probabilità che tale numero sia maggiore di 0 - ovvero che si sia verificata almeno una coincidenza.

Ogni volta che si scoprono due carte, la singola probabilità che siano uguali dipende dal numero di carte nel mazzo iniziale, ed è pari a p=1/N.

Trattandosi di una somma di N variabili binomiali indipendenti, NCC ha un valore medio pari a Np e una varianza pari a Np(1-p)

Da ciò dipendono alcune interessanti considerazioni: innanzitutto, il numero medio di carte coincidenti Np è sempre pari a 1 (che le carte siano 40, 52 o 10000, tale valor medio non cambia mai); la varianza di NCC è semplicemente calcolabile: poiché Np=1, la varianza è (1-p) ovvero (N-1)/N

Che in media ci si attenda 1 coincidenza qualunque sia il numero di carte non è un dato sufficiente: il prestigiatore è interessato a calcolare quante volte tale coincidenza appaia almeno una volta; il problema si riduce quindi a calcolare la probabilità che NCC sia maggiore di 0, che è pari a 1-(1-p)N o più semplicemente 1-((N-1)/N)N

Tale probabilità è pari al 100% nel caso di due mazzi di una carta sola, e precipita velocemente al 64% con mazzi di 23 carte. Con un miliardo di carte in ogni mazzo, la probabilità è ancora superiore al 63% (ed è esattamente pari al 63,21%).

Ecco come varia tale probabilità all'aumentare delle carte:


La probabilità di ottenere almeno una coincidenza è in costante calo, ma diminuisce così lentamente che - dal punto di vista del prestigiatore - presentarlo con un mazzo di 40 carte o con uno di 52 carte è del tutto irrilevante: la probabilità è nel primo caso del 63,68% e nel secondo del 63,57%

Fissato il numero di carte, ad esempio a 52, è possibile calcolare la probabilità di ottenere nessuna coincidenza oppure 1, 2, ecc. Qui di seguito, la probabilità di ogni evenienza:


La stessa distribuzione cambia pochissimo su mazzi di 40 carte:


Per estendere l'analisi ad un numero superiore di carte è disponibile il programma che ho scritto in R per lo studio statistico di tale coincidenza.

» coincidenza1.r studia la funzione di probabilità al variare del numero di carte.

» coincidenza2.r studia la distribuzione delle probabilità del numero di coincidenze.

Il software R è scaricabile gratuitamente cliccando qui.

E' stato Beppe Lo Verso a pormi il problema ieri; lo ringrazio per l'ispirazione del tema trattato.

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